在16世纪，意大利数学家们通过推广二次方程的解法，学会了如何解三次和四次多项式方程，此时这个问题第一次全面浮现出来。后来所说的卡尔达诺法[3]（Cardano method）中，虽然到最后方程的解是正整数，但计算过程常常涉及负数的平方根。从那时起人们逐步发现，使用复数可以让许多数学计算得以开展。复数是形如a＋bi的数，这里a和b都是普通的实数。例如，在18世纪，欧拉发现并应用了eiπ=-1这个小小的出人意料的等式。每一个第一次见到它的人都会禁不住惊讶。
在19世纪早期，韦塞尔[4]（Wessel）和阿尔冈[5]（Argand）研究了复数的几何解释——即坐标平面（标准的xy坐标）上的点，在这之后“虚的”这一术语被普遍接受为数学用语。将复数x＋iy和具有坐标(x，y)的点对应起来，这使得我们能够通过平面上的点的行为来研究复数的行为。事实证明这是极富启发性的。关于所谓的复变量（complex variable）的理论，研究的是依赖于复数——而不仅仅是实数——的函数。经由奥古斯丁·柯西（Augustin Cauchy）的发展，这一理论枝繁叶茂。它现在已经成为数学的一块基石，并且为电信号理论提供了数学基础，而整个X射线衍射领域完全建立在复数的基础上。人们已经证明这些数拥有实实在在的意义。除此之外，这个系统还是完备的，因为每一个多项式在复数系统中都有一组完整的解。我们会在最终章中回到这些话题。不过，在那之前，让我们在下一章中先更近距离地观察一下实数轴的无穷特性。